D’où viennent la disposition des ronds des plaquettes Herbinière-Lebert et le format en plaques ? 

Dans un article précédent j'ai exploré la piste italienne de Maria Montessori. Empruntons à présent la piste allemande : celle de Catherine Stern et celle de Born, Troelltsch et Kühnel.

1. Catherine Stern, née Käthe Brieger (1894-1973)

Avant la seconde guerre mondiale un autre matériel à la configuration très semblable et sur plaques a été créé – les « pattern boards » de Catherine Stern.

Docteure en physique, Catherine Stern[1] se forma à la méthode Montessori de 1921 à 1923 puis elle ouvrit le premier jardin d’enfants Montessori à Breslau en Allemagne (aujourd’hui Wroclaw, Pologne) en 1924. Le jardin d’enfants accueillit après l’école des enfants plus âgés et devint aussi un centre de formation d’enseignants. Quand elle dirigeait le jardin d’enfants elle conçut ses premiers matériels de lecture et d’arithmétique[2], écrivit des articles et publia trois livres (1932 et 1933) présentant sa « pédagogie Montessori étendue » en lien avec les principes de Fröbel. D’ascendance juive bien qu’élevée dans la foi luthérienne, elle dut renoncer en 1934 à sa fonction à cause du régime nazi et développa plus avant ses propres méthodes d’enseignement. Après une première tentative d’émigration en France (dont elle parlait parfaitement la langue) en 1933, c’est finalement aux États-Unis qu’elle s’exila en 1938. En 1939 Max Wertheimer (un des fondateurs de la Gestaltpsychologie) lui écrivit combien il appréciait ses méthodes concrètes d’enseignement de l’arithmétique[3]. Catherine Stern devint son assistante de recherche de 1940 à 1943 (mort de Wertheimer). C’est en lien avec les travaux de Wertheimer que Catherine Stern donna à sa méthode le nom d’ « arithmétique structurelle ». En 1944 Stern fonda la Castle School. Elle présenta sa méthode et son matériel d’enseignement en 1949 dans : Children Discover Arithmetic[4]. Aux Etats-Unis la famille de Catherine Stern continue de former des enseignants et de distribuer son matériel[5]. En Grande-Bretagne son matériel fut utilisé à partir des années 50s et commença de disparaître des écoles au milieu des années 80[6], à peu près comme le matériel Herbinière-Lebert en France, à cause des nouvelles orientations officielles.

De quand date la création des planchettes Stern ? Catherine Stern remplaça d’abord les chaînes de perles montessoriennes par des cubes de couleur collés entre eux (après la Seconde Guerre Mondiale le Belge Georges Cuisenaire créa des réglettes de conception proche qui furent popularisées surtout à partir de 1954 avec l’aide du Britannique Caleb Gattegno) puis elle développa un ensemble cohérent d’outils dont les « pattern boards » (image ci-dessus) à une date que j’ignore. Grâce à ces outils « l’enfant travaille avec des structures claires qui lui montrent dès le départ les relations entre les nombres de notre système numérique »[7]. L’objectif est donc similaire à celui d’Herbinière-Lebert. Les configurations des planchettes sont aussi les mêmes que celles des plaquettes Herbinière-Lebert et disposées de manière stable sur une belle planche en bois.

Les pattern-boards de Catherine Stern sont très similaires aux « plaquettes trouées avec éléments mobiles » de Suzanne Herbinière-Lebert créées dès 1923, présentées au public dès 1926 et commercialisées en 1931, à la différence de la forme des unités à insérer : des cylindres chez Herbinière-Lebert et des cubes chez Stern. L’ordre d’ajout des unités diffère aussi : Herbinière-Lebert ajoute les nouvelles unités à droite sur les plaquettes disposées verticalement, tandis que Stern dispose les nouvelles unités à gauche. La disposition de Stern respecte mieux le sens de la lecture quand les plaquettes sont verticales, et celle d’Herbinière-Lebert respecte mieux le sens de la lecture quand les plaquettes sont horizontales (mais cette orientation n’est pourtant pas celle des plaquettes trouées).

Plaquettes trouées Herbinière-Lebert (Jeu A)

Les pattern-boards diffèrent en revanche des « plaquettes en relief avec éléments fixes » de Suzanne Herbinière-Lebert en ce que les contours des planches de Stern sont tous identiques au contour de la planche rectangulaire présentant le nombre 10, ce qui interdit d’accoler les planches pour composer un autre nombre ou de les superposer pour comparer les compositions de nombres. De plus les unités présentées sur les planches Stern sont des trous carrés permettant d’insérer des cubes colorés.

Plaquettes en relief avec éléments fixes de Suzanne Herbinière-Lebert (Jeu B)

Je comprends donc que c’est entre 1924 et 1949 (et sans doute après avoir développé ses réglettes) que Catherine Stern a conçu ses « pattern boards », donc après la date de création par Suzanne Herbinière-Lebert de ses plaquettes trouées (1923). Si la création des planchettes Stern fut plus proche de 1924, cela signifie que la découverte fut parallèle à celle des plaquettes Herbinière-Lebert. Si la création des planchettes Stern fut postérieure aux articles d’Herbinière-Lebert parus dans L’Éducation enfantine à partir de 1926 et surtout postérieure au Congrès de l’enfance et à l’édition par Nathan du matériel Herbinière-Lebert (1931), il n’est pas impossible que Catherine Stern, francophone et qui passa plusieurs mois en France en 1933 en vue d’un exil possible en Afrique du Nord, ait eu connaissance du matériel français. Ce n’est qu’en 1934 que Catherine Stern présenta pour la première fois son matériel mathématique (en Suisse).

Quoi qu’il en soit elles héritèrent chacune à leur manière des principes de Maria Montessori. Certains affirment même que le dispositif des Pattern Boards « est une variante de la méthode que Montessori avait proposée pour exercer la mémoire des nombres chez les jeunes enfants » [8] . Cette méthode est celle que nous avons décrite (dans un autre article) qui met aussi en valeur la distinction entre nombres pairs et impairs. Ce qui distingue fondamentalement les planchettes Stern de cet exercice montessorien, comme chez Suzanne Herbinière-Lebert, c’est que « Stern pensait que Montessori mettait trop l’accent sur le comptage et n’insistait pas assez pour rendre les relations numériques apparentes visuellement »[9]. Et, comme nous le notions à propos des configurations Herbinière-Lebert, les configurations de Maria Montessori ne sont pas organisées de manière tout à fait identique. Si bien qu’une autre source possible est envisageable.

2. Born (1833-1877)

En 1867 l’Allemand Born dévoile son « Nouvel appareil de calcul pour illustrer les opérations arithmétiques au moyen de nombres imagés de couleurs changeantes[10] ». La configuration qu’il utilise est celle qu’adopteront Suzanne Herbinière-Lebert et Catherine Stern. Ont-elles connu son origine ? Peut-être pas. Mais il est probable qu’elles aient rencontré ces images des nombres car ces dernières ont, entre toutes, reçu la caution des premières expériences académiques de perception du nombre chez les jeunes enfants. [11]

L’appareil de Born est un exemple de plusieurs essais allemands au XIXe siècle pour représenter les nombres de manière stable au sein d’une série clairement identifiable par l’enfant en organisant les nombres en groupes de 2, 3, 4, 5… éléments[12]. Pour permettre d’illustrer en même temps les opérations arithmétiques, des appareils ont été munis de pièces mettant en valeur les décompositions de chaque nombre.

L’appareil de Born permettait à la fois de cacher ou dévoiler un groupe de points et de changer leur couleur.  L’une des rares études sur ces appareils[13] nous le décrit :

Il dispose « 100 points sur 10 rangées de 10 points chacune. Chaque rangée de points peut être complètement ou partiellement recouverte et exposée par un volet. Les points des deux rangées inférieures (nombre compris entre 1 et 20) peuvent changer de couleur pour apparaître en noir ou en rouge ; ils peuvent aussi adopter la couleur blanche de leur environnement, c'est-à-dire qu'ils disparaissent devant les yeux des élèves. Le changement de couleur est réalisé de manière assez ingénieuse. Les points des deux rangées inférieures représentent, en y regardant de plus près, des ouvertures circulaires faites sur deux bandes de métal. Selon la couleur de l’arrière-plan, ils apparaissent en noir, rouge ou blanc - noir lorsque l’arrière-plan du panneau est visible et rouge ou blanc lorsque les rayures rouges ou blanches des deux barres en saillie à droite passent derrière les ouvertures. En manipulant correctement les barres, les nombres conçus selon la loi des deux  peuvent être séparés en deux composants de couleurs différentes. »[14]

L’avantage des configurations de Born par rapport à celles proposées par d’autres pédagogues allemands a été discuté dans plusieurs ouvrages en allemand de la fin du XIXe siècle[15] et du début du XXe siècle, particulièrement par Lay en 1898. Les expériences de Lay furent reproduites et enrichies par Walsemann et critiquées par Knilling. L’Américain Howell[16] fit l’état de la question en 1914.

La question posée à ces nombres imagés (les Allemands disent alors « zahlbilder » / « zahlenbilder » et Howell en anglais «  number picture ») est de savoir quelle configuration est la plus aisément identifiable et utilisable par des enfants. Voici par exemple des configurations examinées par Walsemann :

Les deux configurations finalistes des expériences de Lay et de Walsemann sont les configurations de Born et de Lay, toutes deux proches. Dans celle de Born les paires de point sont à équidistance les unes des autres tandis que dans la configuration de Lay (dite « quadratique ») après deux paires de points la paire suivante est à plus grande distance de la précédente. Lay prouva que sa proposition était un peu plus pertinente que celle de Born. Walsemann prouva de son côté que la proposition de Born était un peu plus pertinente que celle de Lay…  Quant à Freeman en 1910, il montra la supériorité de la configuration de Born sur 6 autres configurations.

Quoi qu’il en soit la configuration de points choisie à la fois par Herbinière-Lebert et par Stern n’était pas une invention complète[17] et pouvait même prétendre à une légitimité scientifique. Catherine Stern, née allemande, eut sans doute encore plus d’occasions que Suzanne Herbinière-Lebert de connaître l’invention de Born. Mais les expériences de Lay furent diffusées aussi en France[18]. En tant que matériel, l’invention de Born montre des similitudes avec le « jeu B » Herbinière par sa pratique de la décomposition au moyen de caches et avec le « jeu A » par le système des couleurs. Mais les plaquettes Herbinière-Lebert et les planchettes Stern sont des matériels de manipulation pour chaque élève qui mène ses propres expériences et valide lui-même ses réussites.

Les configurations de Born eurent une longue postérité, comme on le voit notamment dans ce manuel autrichien de 1942.

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À cette postérité ont beaucoup contribué deux pédagogues allemands : Ernst Troelltsch et Johannes Kühnel.

3. Ernst Troelltsch(1857-1916)

Ernst Troelltsch prit part à la controverse visant à départager les configurations de Lay et de Born. Il est l’auteur en 1901 de Beitrag zur Methodik des grundlegenden Rechenunterrichts durch Veranschaulichung des Rechnens 1 bis 100 am Nürnberger Rechenbrett von Ernst Troelltsch , Selbst verlag. [Contribution à la méthodologie de l’enseignement mathématique de base en illustrant le calcul 1 à 100 sur la table à compter de Nuremberg par Ernst Troelltsch, Auto-édition.]

Son Nürnberger Rechenbrett (tableau de calcul de Nuremberg) conçu en 1893, est le premier essai de construction d’un matériel concret manipulable par les élèves selon les configurations de Born . En 1914 il était utilisé « dans environ 2000 écoles en Allemagne, rien qu’à Nuremberg dans plus de 200 classes, dans la plupart des écoles auxiliaires (au moins 60 à Berlin) pour idiots, sourds et muets. » 

« Cette planche à calculer se compose d'un fond à teinte verte dans lequel sont percés, en deux rangs superposés, vingt trous circulaires d'environ 5 cm. de diamètre. Dans ces trous on peut placer de gros dés de forme cylindrique dont l'une des extrémités est noire et l'autre rouge. Au-dessous se trouve un tableau noir divisé en compartiments et sur lequel on fera figurer les nombres dont on s'occupe. Les applications que l'on peut en déduire conduisent à faire comprendre aux enfants l'une ou l'autre des quatre opérations fondamentales. » 

Le Schullmuseum de Nuremberg donna une nouvelle édition du matériel par le professeur Leonhard Wiedmann en 1925. Cette édition en carton était accompagné d’un texte explicatif.

Selon Troelltsch, pour comprendre les nombres et leurs relations un enfant a besoin de passer par l’intuition. Cette intuition est gênée par la variété des objets dans la salle de classe. Il lui faut un moyen de représentation qui groupe les objets dans l’espace sous une forme définie. Et plutôt qu’un comptage mécanique basé sur la récitation du nom des nombres, il faut plutôt construire chaque nombre après l’autre : chacune des images numériques doit être basée sur la précédente et pouvoir fusionner avec elle. Les nombres sont liés les uns aux autres sous une forme toujours identique.

4. Johannes Kühnel (1869-1928)

Kühnel présente la configuration de Born dans son livre de 1916 : Neubau des Rechenunterrichts. Ein Handbuch der Pädagogik für ein Sondergebiet.[20] [Refondation de l’enseignement de l’arithmétique. Manuel de pédagogie pour zone spéciale], réédité plusieurs fois jusqu’en 1965.

Sans accorder d’importance excessive à la forme des images numériques (Zahlenbilder), Kühnel reconnaît l’avantage des configurations de Born mettant en valeur les doubles et le repère du 5 et préparant parfaitement à l’introduction du système décimal. Il apprécie aussi le fait que chaque image d’un nombre comprend l’image du nombre précédent sous la même forme.

Kühnel montre que grâce à cette configuration on peut saisir 10 points comme une unité et ainsi examiner sans difficulté un nombre quelconque jusqu’à cent. 

Sur ce principe il propose de concevoir pour la classe un « matériel pédagogique d'une valeur extraordinaire » qui est peut-être la première mention d’une pratique aujourd’hui courante consistant à montrer des « cartes à points » aux élèves[21] : 48 panneaux recto-verso, visibles de tous les enfants d’une classe (dimensions 35 x 42 cm), comportant les nombres de 5 à 100 figurés par des points noirs d’un diamètre de 25 mm.  Les élèves doivent dire les nombre présentés successivement par le maître. Il fit imprimer le matériel dès cette époque.

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Pour que chaque élève participe plus activement, Kühnel propose aussi de fabriquer un matériel individuel avec un fer perforant pressé sur du papier d’emballage bicolore plié sur 9 mm d’épaisseur.   

Kühnel décrit précisément sa propre méthode d’utilisation de la configuration de Born en 1925 dans un opuscule introuvable : Anleitung für Mütter und Lehrer zum Gebrauch der Zahl-und Einmaleinstafeln.

Les configurations promues par Kühnel furent encore utilisées bien après sa mort, par exemple dans les manuels bavarois d’après-guerre.

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