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Compter comme des chefs : en mettant en relation les quantités
Cet article a d'abord été élaboré pour mes élèves de maternelle confinés et leurs parents. Vous trouverez ici des pistes d'activité de la petite à la grande section pour comprendre les nombres comme relations entre des quantités. Je mets en valeur les décompositions-recompositions des nombres favorisées par le programme depuis 2015 et les "collections témoins organisées" ou "nombres figuraux" mis en avant par Rémi Brissiaud. C'est à ce dernier que je dois ma formation sur le sujet et je lui emprunte tout le début de l'article (premiers dialogues, etc.) J'apporte une contribution personnelle dans mes vidéos dédiées aux enfants et dans la description de 6 jeux de décomposition.
Introduction aux enjeuxLe comptage tel qu'on l'enseigne dans toutes les familles et souvent à l'école peut induire en erreur les enfants. C'est expliqué ici en 3 minutes par Rémi Brissiaud.En réponse, voici ce que préconise depuis 2015 le programme officiel pour l’école maternelle : « La maîtrise de la décomposition des nombres est une condition nécessaire à la construction du nombre. […] Entre deux et quatre ans, stabiliser la connaissance des petits nombres (jusqu’à cinq) demande des activités nombreuses et variées portant sur la décomposition et recomposition des petites quantités (trois c’est deux et encore un ; un et encore deux ; quatre c’est deux et encore deux ; trois et encore un ; un et encore trois) […] L’itération de l’unité (trois c’est deux et encore un) se construit progressivement, et pour chaque nombre. Après quatre ans, les activités de décomposition et recomposition s’exercent sur des quantités jusqu’à dix. »
Vers une méthode experte pour compter avec les doigtsPour que les doigts soient une aide à la compréhension des nombres et à l’entrée dans le calcul, il doit être parfaitement clair pour l’enfant que chaque doigt, quel que soit son rang ou sa taille, représente 1 unité et donc que :- Un doigt peut être remplacé par un autre ;
- En levant 1 nouveau doigt on ajoute 1 unité au nombre de doigts déjà levés.
- Varier les collections de doigts montrées (2 est symbolisé par l’index et le majeur mais aussi par l’annulaire et l’auriculaire, par le pouce et l’index, etc.)
- Apprendre à l’enfant une comptine des nombres qui rende explicite l’ajout des unités (plutôt que « 1, 2, 3… » dire « 1 et encore 1 : 2, et encore 1 : 3 ».
Premiers dialogues avec les nombres Commencer par les vidéos les plus simples et revisionner (ou rejouer) régulièrement celles qui posent problème. Les parents pourront trouver dans les différentes vidéos des guides pour aider leurs enfants dans les petits calculs du quotidien.« Donne-moi 2 jetons ; comme ça, 1 et encore 1 » en montrant 1 doigt puis l’autre. De préférence commencer par l’index et le majeur puis varier.
« Donne-moi 1 jeton ; comme ça » en montrant 1 doigt. De préférence l’index (puis varier).
« Donne-moi une bille ; comme ça », en montrant 1 doigt. Il est important de dénombrer aussi au féminin.
« Donne-moi comme ça de jetons ; 1 et encore 1. C’est combien comme ça ? »
Quand 1 et 2 sont bien acquis avec différents objets et différents doigts levés, introduire 3. « Donne-moi comme ça de jetons : 1, 1 et encore 1. Attention : 1, 1 et encore 1 c’est un nouveau nombre : 3 » A chaque fois que je dis « un » je lève 1 doigt (index, majeur, annulaire dans un premier temps).
Si l’enfant répond « deux » quand on lui montre 3 doigts, c’est l’occasion de lui expliquer une autre façon de faire 3 : « 2 c’est comme ça » (en montrant l’index et le majeur). « Moi je t’ai demandé comme ça [en levant l’annulaire en plus] : c’est 2 et encore 1. Comment dit-on ce nombre ? »
« Tu me montres avec les doigts combien il y a de jetons ? »
Présenter à l’enfant, par exemple : 3 billes, 2 cubes et 1 bouton. Les objets identiques ne sont pas forcément côte à côte. Varier les objets, leur nombre, leur genre grammatical et leur disposition. On peut aussi dessiner des petites scènes avec des animaux par exemple.- L’adulte : « Où y a-t-il 2 comme ça [En montrant 2 doigts] ? »
- L’enfant : « Il y a 1 cube là, et encore 1 là. 1 et 1 ça fait 2. »
- L’adulte : « Où y a-t-il 3 comme ça [En montrant 3 doigts] ? »
- L’enfant : « Il y a 1 bille là, et encore 2 là. 1 et encore 2 ça fait 3. »
- L’adulte : « Où y a-t-il 1 comme ça [En montrant 1 doigt] ? »
- L’enfant : « Il y a 1 bouton là. »
Variante de "Où y -a-t-il 3 ?" : le jeu des Trois monstres (de Yves Thomas) dont on trouve une explication en vidéo ici. En voici une présentation en livre interactif pour un enfant :
Quand on rencontre des quantités supérieures à 3, plutôt que de réciter la comptine des nombres, préférer lever 1 doigt à chaque nouvel élément nommé et demander à la fin comment s’appelle ce nombre. Par exemple : - L’enfant ou l’adulte : « Dans ma famille il y a maman [lever 1 doigt], papa [lever 1 doigt], Suzie [lever 1 doigt] et Thomas [lever 1 doigt]. C’est combien ça
- L’adulte ou l’enfant : « C’est 4. C’est comme 3 [lever 3 doigts] et encore 1 [lever 1 doigt]. »
Si un grand nombre de doigts est levé on peut en parler et les comprendre en utilisant des nombres déjà connus. Par exemple 5 doigts levés c’est « 3 et encore 2 ». 7 doigts levés c’est « tous les doigts d’une main et encore 2 doigts ».
L’enfant a-t-il parfaitement compris les 3 premiers nombres ?
- Sait-il dire directement le nombre quand on lui présente une collection de 3 doigts, 3 voitures, 3 jetons, 3 fraises… ?
- Sait-il donner 1, 2 ou 3 objets ?
- Sait-il reconnaître directement une collection de 3 parmi des collections de 2 et 4 ? (Voir la situation : « Où y a-t-il 3 » ?)
- Sait-il résoudre des petits problèmes où il s’agit de dire combien il aura d’objets après avoir ajouté ou retiré 1 ou 2 objets (en restant dans le champ des 3 premiers nombres).
Plus de ressources sur les trois premiers nombres dans le Padlet à cette adresse. Il est sans doute plus facilement exploitable par les familles.
Compter en comprenant qu’on ajoute 1 à la quantité précédente
Quand les enfants ont parfaitement compris comment sont faits les trois premiers nombres, il devient possible d’apprendre à compter des objets, d’une manière qui fasse comprendre clairement que les mots des nombres désignent toutes les unités déjà prises en compte et que chaque quantité s’obtient en ajoutant 1 à la quantité précédente.
Avec des objets déplaçables Avec des objets déplaçables c’est plus simple. On dit le nom du nombre uniquement quand l’objet a fini son déplacement et a rejoint les autres objets. Le mieux est de théâtraliser franchement l’ajout de l’unité en disant :
« 1 jeton [je le déplace] et encore 1 jeton [je le déplace] : 2 jetons [On peut entourer les deux jetons pour montrer que c’est de ce groupe de jetons que l’on parle.] Et encore 1 : 3 jetons. Etc. »
Dire « Deux jetons » présente l’avantage de faire comprendre à l’enfant qu’on ne parle pas du deuxième jeton qu’on a déplacé mais des deux jetons qu’on a groupés.
On peut toutefois plus simplement dire : « 1 et encore 1 : 2, et encore 1 : 3 ».
On peut utiliser, comme matériel mettant en valeur l'itération de l'unité, les plaquettes Herbinière-Lebert trouées.
Avec des objets non-déplaçables Avec des objets non-déplaçables, plutôt que de les pointer 1 par 1 au risque que l’enfant croit que « trois » désigne le troisième objet pointé, commencer par cacher avec une feuille tous les objets et les découvrir 1 par 1 pour signifier que le nombre dit est celui de l’ensemble des jetons visibles. « 1 et encore 1 : 2, et encore 1 : 3 ».
Comptines de doigts qui mettent en scène les décompositions des 5 premiers nombres
Les deux premières comptines sont de Rémi Brissiaud.
- Les lapins_copains
- Voici_ma_main
- 5 dans le nid
- 5 oiseaux sur mon arbrisseau (musique)
- Voir aussi les calculines d’Yves Thomas : ici et là
Compter pour comparer
Pour comparer deux quantités l’enfant doit notamment comprendre que la collection la plus nombreuse est celle qui est comptée en allant « le plus loin ». On pourra faire compter une collection de 5 à 8 bouteilles d’un côté de la pièce et une collection de 5 à 8 bouchons de l’autre côté (en quantité égale ou inégale).
Demander à l’enfant : « Y a-t-il plus de bouteilles ? Plus de bouchons ? Ou autant de bouchons que de bouteilles ? Vérifier en mettant les bouchons sur les bouteilles.
Expliquer en disant : « Écoute bien. J’ai compté les bouteilles : 1 bouteille, 2 bouteilles, 3 bouteilles, 4 bouteilles. J’ai compté les bouchons : 1 bouchon, 2 bouchons, 3 bouchons, 4 bouchons, 5 bouchons, 6 bouchons [Je dis plus fort la différence]. » 6 bouchons c’est 4 bouchons comme les bouteilles et 2 tout seuls. Une autre fois on pourra compter en cachant les bouteilles et les bouchons pour que l’enfant se concentre à l’oreille sur le comptage qui « va le plus loin ».
Voici une séance similaire avec un matériel différent, qu’on peut montrer directement à l’enfant : les « fiches à comparer » :
Sept jeux pour décomposer et recomposer les nombres sans compter 1 par 1 grâce aux collections de points et de doigts
Pour permettre à l’enfant de se concentrer sur les relations entre les quantités il existe aussi des aides visuelles : nous avons déjà parlé des doigts ; on peut aussi s'appuyer sur certaines collections de points organisées de manière stable et régulière qui permettent à l’enfant d’analyser une quantité comme constituée de plus petites quantités. Chaque nombre est clairement et régulièrement formé à partir des précédents, ce qui évite de compter 1 par 1. C’est le cas par exemple des points disposés sur les faces d’un dé (ici reconfigurés[i]) qui mettent aussi en valeur les nombres formés en s’appuyant sur 5, comme les doigts de la main :
D’autres organisations de points fonctionnent selon le même principe, comme les plaquettes Herbinière-Lebert qui mettent en valeur les doubles.
Jeu du gobelet But du jeu : trouver combien de jetons/cailloux… sont cachés sous le gobelet en s’appuyant sur la quantité totale vue au départ et celle qui reste visible à côté du gobelet. Niveau 1 : les cailloux sont placés dans des petits cercles disposés de l’une des deux manières présentées ci-dessus comme les points d’un dé ou par deux[1]. L’enfant s’appuie sur les cercles vides pour comprendre que 5 c’est 2 et encore 3.
Niveau 2 : les cailloux sont placés comme les points d’un dé (ou par deux) mais sans les petits cercles. L’enfant s’appuie sur sa mémoire de la disposition des points du dé pour comprendre que 3 cailloux ont été déplacés (1 au milieu et 2 à droite).
Niveau 3 : les cailloux sont placés au hasard. L’enfant organise mentalement la collection de cailloux en deux collections plus petites en s’appuyant sur l’organisation des points du dé.
Deux joueurs : l’un cache, l’autre trouve. Celui qui cache pose 4 questions : Combien y-a-t-il de jetons en tout ? Combien y a-t-il de jetons sous le gobelet ? Comment le sais-tu ? Tu vérifies ? Les objets sont au nombre de 3 à 10. On commence avec 3 objets. Quand les problèmes avec une petite quantité sont résolus avec aisance, on passe à la quantité supérieure. En fin de moyenne section si on est à l’aise jusqu’à 5 objets c’est parfait. On ira jusqu’à 10 en grande section. Il est important de bien consolider la compréhension d’un nombre[2] avant de passer au suivant. Voir la description plus complète ici et des supports téléchargeables ici :
Le premier niveau du jeu est proposé en livre interactif pour les enfants par Anne Chrystin (nombres 4 à 6) et le troisième niveau par Elodie Lerch-Cheval (nombre 3) ici :
Et voici une vidéo du 3ème niveau du jeu et 4 à 5 jetons :
Enfin, voici une adaptation en livres numériques des Albums à calculer de Rémi Brissiaud (qui fonctionnent sur le principe du jeu du gobelet).
http://www4.ac-nancy-metz.fr/ia54-circos/ienstmax/spip.php?article1748
« Tape juste »Dans ce jeu, le principal moyen d’éviter que l’enfant compte 1 à 1 est de lui rendre cette stratégie plus coûteuse ou impossible par la rapidité exigée.
A l’enfant (ou groupe d’enfants) est présenté une des plaquettes trouées qui représente un nombre qu’il connaît bien. L’objectif est de trouver les collections représentant le même nombre que celui de la collection témoin organisée, en s’appuyant sur ses décompositions, sans compter 1 à 1.
Au début de la partie on aura soin de demander aux enfants de dire différentes façons de « faire » le nombre en question et de retourner les jetons pour visualiser les différentes décompositions.
Devant la plaquette sont disposés deux tas de cartes comportant des collections de cercles (à télécharger ici). L’enfant doit taper sur la carte représentant la même quantité que celle de la collection témoin organisée sur la plaquette.
La validation est faite :
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soit en prenant les cylindres des plaquettes pour les disposer sur les cercles de la carte par correspondance terme à terme,
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soit en retournant certains cylindres de la collection témoin pour la décomposer,
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soit plus simplement en séparant du doigt, d’un bâtonnet ou d’un cache translucide les deux groupes de la collection-témoin composant la quantité.
Il est important d’avoir deux tas de cartes et de découvrir deux cartes à la fois afin que, l’enfant ayant un choix à faire, il ne se précipite pas pour taper le premier sur la carte sans réfléchir. Si l’enfant a, de manière répétéeiv, du mal à inhiber l’envie de taper le premier sur n’importe quelle carte, lui donner comme pénalité de passer le prochain tour.
Les cartes sont du type suivant :
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Cartes avec configurations Herbinière-Lebert (identiques à celles des plaquettes).
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Cartes avec configurations Herbinière-Lebert dont deux groupes ont été clairement séparés (décomposition déjà faite).
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Cartes avec configurations du dé(mettant en valeur 5+n) et d’autres collections-témoins organisées conventionnelles mettant en valeur certaines décompositions (doubles, 5+n, appuyées sur repère 3, géométriques, etc.)
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Cartes avec collections non conventionnelles à organiser mentalement
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Toutes les cartes ensemble.
On trouve d'autres jeux similaires avec ce matériel ici.
Bataille de désLe jeu de bataille de dés peut être proposé en redessinant pour chaque joueur les faces de deux dés (dessiner les points sur des dés vierges ou sur des gommettes blanches collées sur les faces) de la manière suivante :
- Un dé comporte quatre faces avec 5 points et deux faces avec 1 point. - L'autre dé comporte de 0 à 5 points sur chaque face.Les joueurs lancent en même temps deux dés chacun et ils comparent la somme des dés sous la forme soit de n+1 soit de 5+n.
On aura soin d’adopter la disposition des points décrite plus haut (et sur laquelle on trouve plus d'information ici ) : 
Au marchéUn ou des marchands ont des objets/images à vendre dont le prix est symbolisé sur des étiquettes par des ronds disposés comme sur les plaquettes Herbinière-Lebert.
Soit le nombre de ronds est visible soit il est caché au dos pour vérification et seul le chiffre est visible.
Les plaquettes sont découpées dans du carton autour des groupes de ronds. Elles sont disposées plus loin. Les clients ont pour règle d’apporter 2 plaques (ou plus) pour faire un nombre. En regardant le prix sur l’étiquette le joueur peut mentalement analyser 5 comme 4 et encore 1 ou bien comme 3 et encore 2. Il peut aussi s’aider de ses mains pour cacher sur l’étiquette un groupe de ronds puis un autre. Il va ensuite chercher les plaques correspondantes et vient les poser sur le gabarit de l’étiquette. Si les plaques correspondent au gabarit, il a gagné et prend l’objet/l'image.
On trouvera une description complète de ce jeu ici
Lucky LukeLes enfants ont les mains derrière le dos ; l’adulte dit un nombre (entre 1 et 5 en moyenne section, entre 5 et 10 ensuite) et les enfants doivent instantanément sortir le nombre de doigts correspondant (sans compter les doigts). Le jeu peut se faire à une main pour les nombres jusqu’à 5 en veillant à proposer différentes façons de faire chaque nombre (pas toujours les mêmes doigts). Il est intéressant de jouer à 2 mains même pour les nombres jusqu’à 5. A deux mains il faut apprendre à varier les décompositions : 8 c’est 4 et 4 mais aussi 5 et 3.
LA… MOU… RA…Adaptation du traditionnel jeu de la mourre[1] connu dès l’Antiquité et encore pratiqué en Corse notamment. 2 joueurs disent en même temps « LA… MOU… RA » et sur la dernière syllabe déplient chacun les doigts d’une seule main. Le premier qui dit la somme des doigts des deux joueurs a gagné. Par exemple : au signal Julie montre 3 doigts et Sonia 2 doigts. La première qui dit « cinq » a gagné.
Une version du jeu de Greli-Grelo est par ailleurs proposée en ligne pour additionner deux petits nombres : Greli-Grelo.
Cartes-éclair
Les cartes-éclair ont pour objectif de faire reconnaître rapidement à l’enfant la représentation d’un nombre en s’appuyant (au-delà de 3) sur ses décompositions.
L’adulte montre la carte assez brièvement pour que l’enfant n’ait pas le temps de compter 1 à 1. L’enfant s’appuie sur des organisations de points formées de manière régulière qui permettent à l’enfant d’analyser plus facilement une quantité comme formée de plus petites quantités.
Télécharger les cartes ici.Comptines de doigts qui mettent en scène les décompositions des 10 premiers nombres
Autres jeux en ligne
- L'extraordinaire Dragonbox Numbers
Et des petits jeux pour :- s'exercer à représenter un nombre de différentes manières : La fleur des nombres jusqu'à 6.
- s'exercer à représenter un nombre de différentes manières : La fleur des nombres jusqu'à 10.
Pour aller plus loin
Une conférence de Rémi Brissiaud (2016) qui explique précisément les enjeux et les pratiques adéquates pour aider les enfants à comprendre les nombres :
Et un livre sur lequel je me suis beaucoup appuyé pour ce texte (surtout pour les premiers dialogues) : Rémi Brissiaud, Premiers pas vers les maths. Les chemins de la réussite à l’école maternelle, Paris : Retz, 2016, 95 pages.
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[1] Jeu de la moure : Au signal les joueurs déplient un certain nombre de doigts d’une main et prononcent en même temps un nombre compris entre 2 et 10. Si le nombre dit correspond à la somme des doigts des deux mains le joueur marque 1 point. Cette annonce simultanée d’un nombre qui n’est pas celui montré par leurs doigts est trop complexe pour de jeunes enfants. Ici les enfant doivent dire un nombre après avoir vu les doigts et ce nombre est celui effectivement montré par les doigts des deux adversaires, pas un nombre au hasard.
[1] Comme sur les plaquettes Herbinière-Lebert qui mettent en valeur les doubles.[2] Le nombre est considéré ici comme relation entre des quantités.[i] Dés reconfigurés : Les représentations des nombres 2, 3 et 6 sont réorganisées pour rendre clair que chaque nombre est formé à partir du précédent auquel on ajoute une unité. Tous les nombre supérieurs à 5 sont par ailleurs formés à partir de la représentation de 5, comme les doigts de la main.
Tags : continuité pédagogique, maternelle, décomposition des nombres, Brissiaud, Herbinière-Lebert
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